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一课研究之关于《分数连乘》解决问题的学生研究

编辑：中国教育品牌网发布时间：2018/1/22 9:17:48

大家好，我是陈海燕，朱乐平名师工作站“一课研究”第二十二组的学员，很荣幸在“一课研究”微信平台中与您相遇。

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听一听：《几何原本》的贡献

读一读：关于《分数连乘解决问题》的学生研究

数学趣味知识：除法的技巧

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选自《几何原本》——欧几里得

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坚持阅读８分钟

一、对于教材的理解

六年级上《分数连乘》解决问题是学生在学习了“求一个数的几分之几是多少”解决问题的基础上进行教学的。“求一个数的几分之几是多少”的解决问题是学生学习分数乘法解决问题的起始内容。新教材与之前教材的区别是把这一内容与“一个数几倍是多少”的解决问题进行类比，建立两类问题之间的联系，引导学生认识这一变化，实现知识的转移。

教材安排了三个例题教学，分别体现了三个层次。

第一层次：求一个数的几分之几是多少。

第二层次：连续求一个数的几分之几是多少。

第三层次：求比一个数多或少几分之几的数是多少。

史宁中教授认为，数学基本思想是“数学发展所依赖，所依靠的思想。”数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。分数乘法解决问题的教学意义所在就是帮助孩子建模，而它的实质是“求一个数的几分之几是多少”，帮助学生建立这个模型，也是后期学习分数除法解决问题和百分数解决问题的基础。

那么从建模的角度看本节课，分数连乘解决问题是“求一个数的几分之几是多少”解决问题的嵌套，意在对于这一类问题解决方法的巩固与拓展。分数连乘解决问题是已知单位“1”的量，求它的几分之几是多少，再将所求的量作为单位“1”，再求这个单位“1”的几分之几是多少。因此本节课的难点是如何找准两个单位“1”，重点是掌握两步分数乘法解决问题的解答方法。

二、前测卷的编制

在实际的教学经验中，我们发现连乘的分数解决问题，学生容易产生思维定势，当分数除法出现的时候，问题就很大了。在这里引用一个例子说明这种现象的存在

以上的例子不难发现其中“亮亮跳的个数是龙龙的5∕8”是多余条件，但是学生按照分数连乘的解决问题固定模式列式了，可见这种定势是存在的。至于错误的归因真的如文章所说是学生审题的习惯吗？

学生为什么会出现这样的问题？与学生前期所学的知识有关吗？与我们的教学有关吗？学生在没有学习该内容之前的学习状况是如何的？带着这些疑问，想通过前测去了解学生的知识基础。

前测卷想从两个方面去了解学生的情况，一是前期的知识掌握测定：分数意义的理解及解决分数连乘的方法。分数概念教学在小学阶段有两次，第一次是在三年级，平均分的对象，也就是单位“1”的量是一个图形或物体，到了五年级平均分的对象扩充到可以是1个群体，多个数量。分数连乘的解决问题中有多个含有分率的条件，学生对于这些分数的理解情况如何呢？

二是学生解决问题的能力测定：出现分数连乘问题时，学生选择信息能力及将条件信息转化的能力是如何的？

（前测卷编制）

三、学生前测情况分析

1.没有建立分率间的联系

分数连乘的解决问题的解决方法是：已知单位“1”的量，求它的几分之几是多少，再将所求的量需要再次作为单位“1”，然后求这个单位“1”的几分之几是多少。条件会出现两个分率，学生能否顺利建立两个分数之间的联系，能表征这种联系，并对这两个分数的理解直接影响对题意的理解及是解决问题的关键。从前测的情况看是不够理想的。

从测试的89人中，38人占总人数的42.7%的学生顺利建立两个分率之间的联系是有困难的，即一个分数的单位1与另一分数有关联的对应量。

从上表中看，图①这种情况有23.6%的学生：孤立画了两个分数，分数间没有产生联系，学生对于分数概念的理解建立还停留在三年级的层面上，只是将一个图形进行平均分，没有关注平均分对象的改变，图②的学生也没有关注到单位1的改变，所标注两个分数的单位1都是同一个量。这类学生没有关注到两个分数间的联系。

图③的学生关注到了两个平均分的对象是不同也是有关联的，但是将分数表征的过程出现了的问题，而图④的学生只是关注到单位1的改变，但是没有找准平均分的对象。这类学生关注到分数间的联系，但是不能正确表征这种联系。

图⑤⑥的学生能关注到平均分的对象不同，能解决出这个问题，但是分数的单位1还是没有正确表征。可见将两个分数能正确用图表征这个要求对学生是有难度的。分数概念教学从三年级到五年级教学中，从最初接触将“一个物体”作为单位“1”进行平均分到后期平均分的对象扩充到 “一个整体、多个计量单位”，如果这个过渡模糊，不顺利，那么对于分数乘法解决问题的教学会造成干扰的。因此，从数据分析及学生画图分析来看教学过程中帮助学生正确表征这两个分数从而建立两个分率的联系是有必要的，而这个联系没有建立好，才会有前面所提的思维定势存在的可能。

2.以“平均分”概念解决问题

求“一个数的几分之几是多少”与“求一个数的几倍是多少”的算理是类似的。在“求一个数的几分之几是多少”解决问题教学中，教学让学生从求一个数的整数倍是多少→求一个数的小数倍是多少→求一个数的分数（真分数）倍是多少的对比中理解求一个数的几分之几是多少用乘法的算理及建立模型。在实际测试中，学生以“平均分”的概念解决问题居多。（测试卷说明：学生在前测时还没有进行“求一个数的几分之几是多少”解决问题的教学。）

从上表中不难发现，有59人解决连乘的问题学生还是以分数概念中的子概念“平均分”为支撑的，占人数的66%；在第3种方法“20×0.9=18（棵）18÷3×2=12（棵）”中，当发现分数不能化成小数时，学生还是选择以平均分的意义帮助其解决问题。测试89人中没有一人用20×（9∕10×2∕3）的方法解决问题，就思维层次看要比表中的第一种方法要高，因此帮助学生理解这一方法，同时与表中第一方法建立联系也是在新课教学中需要关注的。

其他11人中，将这些情况分为3类。