法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,并提出了此条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,人们把这个关系称为韦达定理。韦达定理一直贯穿在整个初中数学知识体系中,它在简化计算方便是一种很重要的手段,也是我们解题方式中的重要方法之一。

杰哥解密数学通过对往年中考试卷的分析,总结出“求与两根有关的代数式的值、已知一根求另一根、一直对称式值求字母系数值、已知两根求新方程”这四种用法是韦达定理众多用法中在中考时较为常出现的考试题型。不仅如此,韦达定理在函数与平面几何中也有着很广泛的运用。在杰哥解密数学课堂上,他一直强调同学们重视韦达定理,因为一般的代数式如果先解方程,再把方程的解代入计算,这种解题方式的计算量会很大,并可能出现换算错误。但是用韦达定理的一元二次方程根与系数关系求出两根之和两根之积,再用整体代换思想求值,即可提高运算速度和正确率,能为同学们在考试中节约不少时间。

何为韦达定理?通过以下方程式和经典例题我们可探究一二。

设一元二次方程中,两根x₁、x₂,定理关系如下:

由一元二次方程求根公式知:

则有:

例:已知二次函数y=-x2+px+q的图像与x轴交于(α,du0)、(β,0)两点,且α>1>β,求证:p+q>1.

证明:由题意,可知方程-x2+px+q=0的两根为α、β.由韦达定理得

α+β=p,αβ=-q.

于是p+q=α+β-αβ,

=-(αβ-α-β+1)+1

=-(α-1)(β-1)+1>1(因α>1>β)

在这,杰哥还要提醒下各位同学,在韦达定理的运用中,要注意以下两点:如果求解两根之差相关的表达式,最后的结果为构造出来的完全平方式开根号,两个结果无特殊说明是都要保存的。再有就是根据两个根相关的表达式,列出关于方程的系数的式子,可能求出来是多个数值,但是一定要结合根的判别式△去判断是否两个数字都满足,不满足的一定要舍去。